Movimento elíptico planetário: distribuição de áreas e tempo orbital / Ellipse areas and planetary partial revolution time formulas

Nícolas Fausto Ribeiro, 16 de janeiro de 2024
Campina Grande, Paraíba, Brasil

English version at February 10 2024

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Abstract

In this paper, new formulas for partial areas and in planetary motion and its relation with revolution period (unit Earth years) using Analytical Geometry and Astrophysics. Kepler’s 2nd law shows the proportionality between areas and times. With this, two new areas named “nick1” and “nick2” allow calculating also the time spent in planetary orbit. These formulas are shown below:

The first is the ellipse equation of a planet, with coordinates (x,y), R is average orbit radius and e the eccentricity.

Second is the nick1 area and period formula, being e the eccentricity and pi as the constant.

The third is the nick2 area and period formula, being arccos e the arccosine of eccentricity in radians.

Introdução
O desenvolvimento físico-matemático da Astronomia foi exponencialmente
otimizado na Idade Moderna europeia – nomes como Tycho Brahe (1546-1601), Isaac Newton (1643-1727), Nicolau Copérnico (1473-1543) e Johannes Kepler (1571-1630) estão como os principais responsáveis pela compreensão do funcionamento do cosmos. Neste artigo, a apresentação das Leis de Kepler é fundamental, sem desconsiderar as demais contribuições dos astrônomos e geômetros. René Descartes(1596-1650) “fundou” a Geometria analítica com a ideia do plano cartesiano; neste segmento geométrico está o estudo das elipses, elementos planos presentes na órbita dos planetas conforme descreve a 1° Lei de Kepler. Com o avanço do cálculo integral, a determinação das áreas parciais elípticas se torna mais precisa – algo
aplicável no estudo das órbitas parciais, sendo estas o foco do trabalho. A relação entre elementos elípticos e dados astronômicos permite usar a Matemática e Física para especificar o movimento planetário abordado.

Elementos e definição de uma elipse
A elipse é uma figura geométrica extraída de uma seção cônica. A construção de uma elipse também pode ser feita com a analogia do barbante: dois lados fixos e um em movimento utilizando um barbante e um lápis. Os dois pontos fixos são chamados de focos da elipse. Por definição de elipse, a distância euclidiana entre os focos é igual a 2c. A soma dos raios da elipse é igual a 2a e são representados pelos lados móveis no barbante, enquanto 2b é a distância entre as duas extremidades do eixo y da elipse, perpassando o centro da elipse.

A equação simplificada da elipse é:
𝑥²/𝑎² + 𝑦²/𝑏² = 1
A relação entre a,b,c é:
𝑎² = 𝑏² + 𝑐²

 A excentricidade da elipse é dada por: e = c/a, 0 < e < 1.

2. Associação entre elipses e Leis de Kepler
A 1° Lei de Kepler, a Lei das Órbitas, afirma que “A órbita dos planetas é uma
elipse, com o Sol ocupando um dos focos”. Assim, o planeta percorre todo o perímetro elíptico, e a distância mínima entre o Sol e o planeta – o periélio – é dado por a-c, enquanto o afélio mantém distante o sistema Sol-Planeta por a+c. Atualmente, sabe-se que as Leis de Kepler são universais, logo o corpo central pode ser ocupado por qualquer estrela ou planeta conhecidos, ambos pertencendo a um mesmo sistema.

As propriedades geométricas elípticas podem ser convertidas para novas
nomenclaturas astronômicas. O raio médio, denotado por R, é dado pela média aritmética dos raios – sua soma é igual a 2a, logo a corresponde a R. Com esta substituição, é possível calcular c utilizando a fórmula da excentricidade:

e = c/a –> e = c/R –> c = Re
Determinando a e c, b pode ser calculado usando o Teorema de Pitágoras:
𝑎² = 𝑏² + 𝑐² → 𝑅² = 𝑏² + 𝑅²𝑒² –>
𝒃 = 𝑹√𝟏 − 𝒆²

Reescrevendo a equação da elipse:
𝒙²/𝑹² + 𝒚²/𝑹²(𝟏 − 𝒆²) = 1

Na 2° Lei de Kepler, a Lei das Áreas, há a relação entre área “varrida” pelo planeta
e o tempo orbital: “Planetas varrem áreas iguais em tempos iguais”. De forma
alternativa, as áreas varridas são diretamente proporcionais ao tempo.
É possível criar setores de áreas para compreender esta relação, considerando a proporção entre áreas e, consequentemente, entre tempos orbitais.

1° Área especial (nick1)
 O planeta está alinhado com o centro da elipse e orbita em direção ao afélio:

A área varrida é dada pela soma da área do triângulo e o quarto de elipse.
Logo: 𝑏𝑐/2 + 𝑎𝑏𝜋/4, a = R, b = 𝑅√1 − 𝑒², c = Re
𝑅²𝑒√(1−𝑒²)/2 + 𝜋𝑅²√(1−𝑒²)/4 passa a ser a área desejada.

Sabendo que o tempo para percorrer metade da área corresponde à metade do
tempo, qual o tempo necessário para percorrer a área especial?
Área da semielipse: 𝜋𝑅²√(1−𝑒²)/2
Área especial: 𝑅²√(1−𝑒²)(2𝑒+𝜋)/4

Exemplo 1: Qual a porcentagem de tempo do planeta Mercúrio na
“área especial 1”? Excentricidade: 0.21 –> 0.21/π + 1/2 ≈ 56,6%
Exemplo 2: Qual a porcentagem de tempo do planeta Marte na
“área especial 1”? Excentricidade: 0.09 –> 0.09/π + 1/2 ≈ 52,8%

2° Área especial (nick2)
 As áreas especiais perpassam o “Sol”.