Fórmula do Teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo com catetos múltiplos entre si

Nícolas Fausto Ribeiro, 01 de fevereiro de 2024

Campina Grande, Paraíba, Brasil

Vídeo explicativo no canal do YouTube:

Introdução
A presente análise lógico-dedutiva matemática consiste em uma observação de um caso especial do famoso Teorema de Pitágoras, este com o seguinte enunciado: “O quadrado da medida da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados dos seus catetos”. O desenvolvimento de uma fórmula especial envolve a multiplicidade entre os catetos, com o objetivo de otimizar o cálculo e simplificar o processo metodológico em exercícios ou em situações-problema.

1. Teorema de Pitágoras
   Possui como equação geral a² + b² = c², sendo a, b os catetos e c a hipotenusa. A hipotenusa é, por definição, a medida do triângulo retângulo oposta ao ângulo reto, enquanto os dois catetos são perpendiculares entre si.
2. Intuição da fórmula especial com catetos múltiplos           O caso inicial é presente no cálculo da diagonal de um quadrado de lado L; como o quadrado possui os quadro lados iguais, os catetos são iguais e assim a multiplicidade é igual a 1 (L / L = 1).

  Colocando L² em evidência, é possível chegar a L²(1+1) = d². É possível perceber que o primeiro termo em parêntese é o próprio cateto, enquanto o segundo se refere ao outro cateto que forma o triângulo, dessa vez sendo iguais entre si.

 Com a técnica de fatoração por fator comum, generaliza-se esse padrão ao
considerar c e cx como catetos, sendo x o multiplicador do cateto “primitivo” c, com 𝑥 ≥ 1, 𝑥 ∈ 𝑁. Assim,

Exemplo 1(vídeo retirado da conta do Instagram nickisotopes, criada pelo autor Nícolas F. Ribeiro):

Exemplo 2:
5² + 10² = x² –> Forma convencional: x² = 125, x = 5√5 / Forma prática: x = 5√(1 + 2²) -> x = 5√5

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3. Conclusões
–> Fórmula desenvolvida: hipotenusa = c√1 + 𝑞², c = cateto menor / q = razão
cateto maior/menor (exceção quando os catetos forem iguais)
–> Sendo os catetos números inteiros, a hipotenusa sempre será irracional.
O polinômio √(1 + q²) não é fatorável por números reais a não ser 1 e o próprio √(1 + q²).

Referências

• https://web.cs.ucla.edu/~klinger/dorene/math1.htm
  Bill Casselman, The babylonian tablete Plimpton 322.
  https://personal.math.ubc.ca/~cass/courses/m446-03/pl322/pl322.htm